Keanehan Deret 1 - 1 + 1 - 1 + ...

Hmm, sedikit intermezzo untuk ngabuburit anda. Begini, jika disajikan sebuah deret seperti ini. 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1... kurang satu tambah satu terus, terus, terus, sampai pegel (dikenal juga sebagai Grandi's Series). Kira-kira berapa hasilnya?

Mungkin deret ini bisa dianggap sebagai:

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0

Tetapi deret ini juga bisa dianggap sebagai:

1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1

Atau bisa juga menggunakan metode penjumlahan Cesaro, jadi misal:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
maka
1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...)
1 - S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
1 - S = S
1 = 2S, sehingga S = 1/2

Tetapi metode ini menimbulkan keanehan sendiri, karena tidak adanya suku "setengah" pada penjumlahan diatas. Karena hasil dari penjumlahan deret ini tergantung pada tanda yang terakhir (1 atau -1), sementara deret ini tidak mempunyai akhir/tidak berujung.

Mungkin bisa ditarik kesimpulan seperti ini:

- Deret ini tidak mempunyai jumlah.
- Tetapi jika punya, maka jumlahnya adalah 1/2.

Selamat menjalankan ibadah puasa. (bye)
Sumber