Logika Matematika - Part 3

Pada bahasan yang lalu kita membahas tentanag ingkaran, paa bahasan kali ini kita akan membahas tentang pernyataan berkuantor. Bukan, bukan kuantor yang itu.

Untuk melihat edisi yang sebelumnya klik:
Logika Matematika - Part 1
Logika Matematika - Part 2

Oya tidak lupa update piala dunia semalam:
Prancis 2-0 Nigeria
Jerman 2-1 Aljazair

Pernyataan berkuantor dibagi menjadi dua yaitu eksistensial dan universal

Pernyataan berkuantor eksistensial

Pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan yang menyatakan kebenaran suatu pernyataan untuk beberapa variabel. Biasanya menggunakan kata-kata "beberapa" atau "ada" (eksis), yang artinya paling sedikit satu. Dinotasikan sebagai:

∃x:P(x)
yang berarti: ada minimal satu buah x yang memenuhi pernyataan P(x).

Contohnya:

1. Di dalam kelas ada orang yang menulis dengan tangan kiri, artinya ada (paling sedikit satu) orang yang kidal di dalam kelas. Dalam hal ini x adalah orang, dan P(x) adalah orang yang kidal atau menulis dengan tangan kiri.
2. Ada x bulat yang memenuhi x2 - 3x + 2 = 0.
3. Jika Timnas Inggris tidak lolos fase grup maka beberapa orang Inggris tidak senang. (yang berkuantor adalah pernyataan "beberapa orang Inggris tidak senang")

Pernyataan berkuantor universal

Pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan yang menyatakan kebenaran suatu pernyataan untuk semua variabel. Biasanya menggunakan kata-kata "semua" atau "untuk setiap". Dinotasikan sebagai:

∀x:P(x)
Yang berarti: Untuk semua x, maka memenuhi pernyataan P(x).

Contoh:

1. Semua manusia bernapas
2. Semua makhluk hidup butuh makan
3. Untuk setiap n bilangan real, n2 ≥ 0

Ingkaran pernyataan berkuantor

Jika pernyataan berkuantor eksistensial dinotasikan:

∃x:P(x)
Maka ingkarannya adalah:
~(∃x:P(x)) ≈ ∀x:~P(x)

Contoh:

Sebuah pernyataan berbunyi:
"Ada bilangan prima yang genap" (benar, yaitu 2)
Maka ingkarannya:
"Tidak benar bahwa ada bilangan prima yang genap"
atau dapat dikatakan:
"Semua bilangan prima tidak genap"
atau:
"Semua bilangan prima ganjil" (salah)

Jika pernyataan berkuantor universal dinotasikan:

∀x:P(x)
Maka ingkarannya adalah:
~(∀x:P(x)) ≈ ∃x:~P(x)

Contoh:

Sebuah pernyataan berbunyi:
"Semua bilangan genap habis dibagi 2" (benar)
Maka ingkarannya:
"Tidak benar bahwa semua bilangan genap habis dibagi 2"
atau dapat dikatakan:
"Ada (beberapa/minimal satu) bilangan genap yang tidak habis dibagi 2" (salah)

Pernyataan berkuantor dan operator logika

Jika pernyataan berkuantor dioperasikan melalui operator logika, maka hasilnya sama dengan pernyataan biasa, yang harus diperhatikan adalah ingkaran dari pernyataan berkuantor.

Contoh:
Jika Timnas Inggris tidak lolos fase grup maka semua orang Inggris tidak senang.

Jika dinyatakan dalam notasi logika maka:

P: Timnas Inggris tidak lolos fase grup
Q (atau Q(x)): Semua orang Inggris tidak senang
x: orang Inggris

Notasi implikasinya adalah:
P → (∀x:Q)
Maka ingkaran dari notasi tersebut adalah:
~(P → (∀x:Q)) ≈ P ^ ~(∀x:Q) ≈ P ^ ∃x:~Q
Jika diterjemahkan dalam kata-kata maka ingkarannya adalah:
"Timnas Inggris tidak lolos fase grup dan ada beberapa orang Inggris yang tidak tak senang" (berarti ada orang Inggris yang senang, meski timnas Inggris tidak lolos fase grup)

Sekian dulu untuk kali ini. Dan selamat menunggu berbuka puasa.

Jadwal Piala Dunia:
Argentina vs Swiss
Belgia vs Amerika Serikat
KLIK DISINI UNTUK BACA SELENGKAPNYA

Logika Matematika - Part 2

Sudah empat bulan tidak ngepost di blog ini, dan serial logika matematika yang sebelumnya bersambung akan dilanjutkan disini.

Untuk melihat serial sebelumnya silakan klik:
Logika Matematika - Part 1

Dan saya tidak lupa mengucapkan selamat menunaikan ibadh puasa bagi yang menjalankan :D Dan sekalian juga update piala dunia teranyar tadi pagi:
Belanda 2-1 Meksiko
Kosta Rika 1-1 Yunani (Kosta Rika menang adu pinalti 5-3)

Pada materi kali ini akan dibahas mengenai ingkaran, konvers, invers dan kontraposisi.

Ingkaran

Ingkaran adalah kebalikan dari suatu premis (pernyataan) yang menyebabkan nilai suatu premis berubah dari benar menjadi salah atau tidak. Jika notasi suatu premis adalah P maka ingkarannya adalah ~P.

Misalnya suatu pernyataan (karena sekaranag lagi musim bola maka kita pakai yang berhubungan dengan piala dunia): Belanda menang melawan Cile (benar). Maka ingkarannya adalah "Belanda tidak menang melawan cile" (salah) atau "tidak benar bahwa Belanda menang atas Cile" (salah). Belanda tidak menang melawan cile belum tentu kalah, bisa saja seri. etapi pernyataan "Belanda tidak menang melawan Cile" salah karena yang benar Belanda menang lawan Cile.

Dalam dunia pemrograman notasi ingkaran adalah NOT.

Ingkaran dan Operator Logika

Ingkaran dari konjungsi:

Jika suatu konjungsi dinyatakan sebagai P ^ Q
maka ingkarannya adalah ~(P ^ Q) ≈ ~P v ~Q

Contoh:
P: Brazil lolos ke babak 16 besar. (benar)
Q: Meksiko lolos ke babak 16 besar. (benar)
Konjungsi: Brazil dan Meksiko lolos ke babak 16 besar (benar)
maka ingkarannya adalah "tidak benaar bahwa Brazil dan Meksiko lolos ke babak 16 besar" atau "Brazil tidak lolos ke babak 16 besar atau Meksiko tidak lolos ke babak 16 Besar", dalam bahasa yang lebih singkat: "Brasil atau Meksiko tidak lolos ke babak 16 besar". Yang berarti salah satu dari mereka (atau keduanya) tidak lolos ke babak 16 besar. (salah)

Ingkaran dari disjungsi (non eksklusif):

Jika suatu disjungsi dinyatakan sebagai P v Q
maka ingkarannya adalah ~(P v Q) ≈ ~P ^ ~Q

Contoh:
P: Kosta Rika tidak lolos ke babak 16 besar. (salah)
Q: Inggris tidak lolos ke babak 16 besar. (benar)
Disjungsinya adalah Kosta Rika atau Inggris tidak lolos ke babak 16 Besar, yang artinya salah satu dari Kosta Rika dan Inggris atau keduanya tidak lolos ke babak 16 besar. (benar)
Ingkarannya adalah "Tidak benar bahwa Kosta Rika atau Inggris tidak lolos ke babak 16 Besar". Yang berarti juga "Kosta Rika lolos ke Babak 16 besar dan Inggris lolos ke babak 16 Besar" atau "Keduanya lolos ke babak 16 Besar". (salah)

Ingkaran dari implikasi:

Jika suatu implikasi dinyatakan P → Q
maka ingkarannya adalah ~(P → Q) ≈ P ^ ~Q

Contoh:
P: Laga Jerman lawan AS berakhir imbang. (salah)
Q: Portugal tidak lolos ke babak 16 besar. (benar)
Implikasi: Jika laga Jerman lawan AS berakhir imbang maka Portugal tidak lolos ke babak 16 besar. (benar)
Ingkarannya: Laga jerman lawan AS berakhir imbang dan Portugal lolos ke babak 16 besar. (Salah)

Dan jika diperhatikan, bentuk P ^ ~Q merupakan ingkaran dari ~P v Q (kedua nilai dibalik dan tanda disjungsi berubah menjadi konjungsi), jadi bentuk implikasi (P → Q) senilai dengan ~P v Q. Dengan kata lain pernyataan "Laga jerman lawan AS tidak berakhir imbang atau lolos ke babak 16 besar" senilai dengan "Jika laga Jerman lawan AS berakhir imbang maka Portugal tidak lolos ke babak 16 besar". Dengan kata lain, jika anda sering mendengar enjahat berkata seperti ini di film action: "Pergi atau aku akan membunuhmu", dengan kata lain si penjahat berkata bahwa jika orang yang dihadapinya tidak pergi maka si penjahat akan membunuhnya.

Ingkaran dari biimplikasi:

Jika suatu biimplikasi dinyatakan P ↔ Q
maka ingkarannya adalah ~(P ↔ Q) ≈ ~((P → Q) ^ (Q → P))
≈ (P ^ ~Q) v (Q ^ ~P)

Contoh:
P: Jerman dapat memenangkan laga
Q: Laga tidak berakhir adu pinalti.
Implikasi:
Jerman dapat memenangkan laga jika laga tidak berakhir adu pinalti, dan Jika laga tidak berakhir adu pinalti maka Jerman dapat memenangkan laga.
Jika disatikan menjadi biimplikasi maka menjadi:
Jerman dapat memenangkan laga jika dan hanya jika laga tidak berakhir adu pinalti.
Maka ingkarannya: Jerman dapat memenangkan laga meski (dan) laga berakhir adu pinalti, atau, meski laga tidak berakhir adu pinalti, jerman tidak dapat memenangi laga.

Jika diperhatikan melalui tabel kebenaran (lihat postingan pertama), maka ingkaran dari biimplikasi dapat digolongkan menjadi disjungsi eksklusif, contohnya: Jerman tidak dapat memenangkan laga atau laga berakhir adu pinalti, tetapi tidak keduanya, akan senilai dengan ingkaran biimplikasinya.

Konvers, Invers dan Kontraposisi

Dalam implikasi, terdapat konvers, invers dan kontraposisi.

Jika suatu implikasi dinyatakan dalam P → Q
maka konversnya adalah Q → P
inversnya adalah ~P → ~Q
sementara kontraposisinya adalah ~Q → ~P

Implikasi senilai dengan kontraposisinya, sedangkan konvers senilai dengan invers (jika tidak percaya silakan buktikan dengan tabel kebenaran)

Contohnya:
Implikasi: Jika Brazil gagal menjuarai Piala dunia maka rakyat Brazil marah
Konvers: Jika rakyat Brazil marah maka Brazil gagal menjuarai Piala Dunia
Invers: Jika Brazil berhasil (tidak gagal) menjuarai Piala Dunia maka rakyat Brazil tidak marah
Kontraposisi: Jika rakyat Brazil tidak marah maka Brazil berhasil menjuarai Piala Dunia.

Sudah cukup segini dulu dan insya Allah dilanjutkan jika sempat. Selamat menunggu berbuka puasa (goodluck)

Sekalian jadwal ntar malam:
Prancis vs Nigeria
Jerman vs Aljazair
KLIK DISINI UNTUK BACA SELENGKAPNYA

Pengikut

Follow via NetworkedBlogs



Jangan lupa jadi fans Muhammad Rizki Fadillah's Blog di Facebook. Klik link di bawah ini.

http://www.facebook.com/pages/Tips-Trik-Matematika-Tutorial-Blogging-Muhammad-Rizki-Fadillahs-Blog/277782561876

Setelah mengklik link diatas, klik tombol Become A Fan untuk menjadi fans Muhammad Rizki Fadillah's Blog.