Logika Matematika - Part 2

Sudah empat bulan tidak ngepost di blog ini, dan serial logika matematika yang sebelumnya bersambung akan dilanjutkan disini.

Untuk melihat serial sebelumnya silakan klik:
Logika Matematika - Part 1

Dan saya tidak lupa mengucapkan selamat menunaikan ibadh puasa bagi yang menjalankan :D Dan sekalian juga update piala dunia teranyar tadi pagi:
Belanda 2-1 Meksiko
Kosta Rika 1-1 Yunani (Kosta Rika menang adu pinalti 5-3)

Pada materi kali ini akan dibahas mengenai ingkaran, konvers, invers dan kontraposisi.

Ingkaran

Ingkaran adalah kebalikan dari suatu premis (pernyataan) yang menyebabkan nilai suatu premis berubah dari benar menjadi salah atau tidak. Jika notasi suatu premis adalah P maka ingkarannya adalah ~P.

Misalnya suatu pernyataan (karena sekaranag lagi musim bola maka kita pakai yang berhubungan dengan piala dunia): Belanda menang melawan Cile (benar). Maka ingkarannya adalah "Belanda tidak menang melawan cile" (salah) atau "tidak benar bahwa Belanda menang atas Cile" (salah). Belanda tidak menang melawan cile belum tentu kalah, bisa saja seri. etapi pernyataan "Belanda tidak menang melawan Cile" salah karena yang benar Belanda menang lawan Cile.

Dalam dunia pemrograman notasi ingkaran adalah NOT.

Ingkaran dan Operator Logika

Ingkaran dari konjungsi:

Jika suatu konjungsi dinyatakan sebagai P ^ Q
maka ingkarannya adalah ~(P ^ Q) ≈ ~P v ~Q

Contoh:
P: Brazil lolos ke babak 16 besar. (benar)
Q: Meksiko lolos ke babak 16 besar. (benar)
Konjungsi: Brazil dan Meksiko lolos ke babak 16 besar (benar)
maka ingkarannya adalah "tidak benaar bahwa Brazil dan Meksiko lolos ke babak 16 besar" atau "Brazil tidak lolos ke babak 16 besar atau Meksiko tidak lolos ke babak 16 Besar", dalam bahasa yang lebih singkat: "Brasil atau Meksiko tidak lolos ke babak 16 besar". Yang berarti salah satu dari mereka (atau keduanya) tidak lolos ke babak 16 besar. (salah)

Ingkaran dari disjungsi (non eksklusif):

Jika suatu disjungsi dinyatakan sebagai P v Q
maka ingkarannya adalah ~(P v Q) ≈ ~P ^ ~Q

Contoh:
P: Kosta Rika tidak lolos ke babak 16 besar. (salah)
Q: Inggris tidak lolos ke babak 16 besar. (benar)
Disjungsinya adalah Kosta Rika atau Inggris tidak lolos ke babak 16 Besar, yang artinya salah satu dari Kosta Rika dan Inggris atau keduanya tidak lolos ke babak 16 besar. (benar)
Ingkarannya adalah "Tidak benar bahwa Kosta Rika atau Inggris tidak lolos ke babak 16 Besar". Yang berarti juga "Kosta Rika lolos ke Babak 16 besar dan Inggris lolos ke babak 16 Besar" atau "Keduanya lolos ke babak 16 Besar". (salah)

Ingkaran dari implikasi:

Jika suatu implikasi dinyatakan P → Q
maka ingkarannya adalah ~(P → Q) ≈ P ^ ~Q

Contoh:
P: Laga Jerman lawan AS berakhir imbang. (salah)
Q: Portugal tidak lolos ke babak 16 besar. (benar)
Implikasi: Jika laga Jerman lawan AS berakhir imbang maka Portugal tidak lolos ke babak 16 besar. (benar)
Ingkarannya: Laga jerman lawan AS berakhir imbang dan Portugal lolos ke babak 16 besar. (Salah)

Dan jika diperhatikan, bentuk P ^ ~Q merupakan ingkaran dari ~P v Q (kedua nilai dibalik dan tanda disjungsi berubah menjadi konjungsi), jadi bentuk implikasi (P → Q) senilai dengan ~P v Q. Dengan kata lain pernyataan "Laga jerman lawan AS tidak berakhir imbang atau lolos ke babak 16 besar" senilai dengan "Jika laga Jerman lawan AS berakhir imbang maka Portugal tidak lolos ke babak 16 besar". Dengan kata lain, jika anda sering mendengar enjahat berkata seperti ini di film action: "Pergi atau aku akan membunuhmu", dengan kata lain si penjahat berkata bahwa jika orang yang dihadapinya tidak pergi maka si penjahat akan membunuhnya.

Ingkaran dari biimplikasi:

Jika suatu biimplikasi dinyatakan P ↔ Q
maka ingkarannya adalah ~(P ↔ Q) ≈ ~((P → Q) ^ (Q → P))
≈ (P ^ ~Q) v (Q ^ ~P)

Contoh:
P: Jerman dapat memenangkan laga
Q: Laga tidak berakhir adu pinalti.
Implikasi:
Jerman dapat memenangkan laga jika laga tidak berakhir adu pinalti, dan Jika laga tidak berakhir adu pinalti maka Jerman dapat memenangkan laga.
Jika disatikan menjadi biimplikasi maka menjadi:
Jerman dapat memenangkan laga jika dan hanya jika laga tidak berakhir adu pinalti.
Maka ingkarannya: Jerman dapat memenangkan laga meski (dan) laga berakhir adu pinalti, atau, meski laga tidak berakhir adu pinalti, jerman tidak dapat memenangi laga.

Jika diperhatikan melalui tabel kebenaran (lihat postingan pertama), maka ingkaran dari biimplikasi dapat digolongkan menjadi disjungsi eksklusif, contohnya: Jerman tidak dapat memenangkan laga atau laga berakhir adu pinalti, tetapi tidak keduanya, akan senilai dengan ingkaran biimplikasinya.

Konvers, Invers dan Kontraposisi

Dalam implikasi, terdapat konvers, invers dan kontraposisi.

Jika suatu implikasi dinyatakan dalam P → Q
maka konversnya adalah Q → P
inversnya adalah ~P → ~Q
sementara kontraposisinya adalah ~Q → ~P

Implikasi senilai dengan kontraposisinya, sedangkan konvers senilai dengan invers (jika tidak percaya silakan buktikan dengan tabel kebenaran)

Contohnya:
Implikasi: Jika Brazil gagal menjuarai Piala dunia maka rakyat Brazil marah
Konvers: Jika rakyat Brazil marah maka Brazil gagal menjuarai Piala Dunia
Invers: Jika Brazil berhasil (tidak gagal) menjuarai Piala Dunia maka rakyat Brazil tidak marah
Kontraposisi: Jika rakyat Brazil tidak marah maka Brazil berhasil menjuarai Piala Dunia.

Sudah cukup segini dulu dan insya Allah dilanjutkan jika sempat. Selamat menunggu berbuka puasa (goodluck)

Sekalian jadwal ntar malam:
Prancis vs Nigeria
Jerman vs Aljazair
KLIK DISINI UNTUK BACA SELENGKAPNYA

Logika Matematika - Part 1

Menurut Wikipedia Bahasa Indonesia, Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika penting untuk dipelajari:

1. Supaya tidak dibego-begoin orang lain
2. Supaya bisa ngeboongin orang lain
3. Supaya bisa berkelit/ngeles dari segala tuduhan, terutama tuduhan hukum
(haha) (rofl) (lmao)

Nggak kok, bercanda...

Logika matematika penting dipelajari karena erat dengan kehidupan sehari-hari. Misalnya ada peraturan "Dilarang membawa makanan dan minuman ke dalam ruangan". Tapi anda membawa botol air mineral. Lalu kamu ditanya oleh penjaga ruangan "Mas, baca tuh". Trus anda jawab: "Iya udah baca. Itu kan tulisannya dan, berarti kalau bawa minuman aja boleh dongg". Lalu anda masuk ke dalam ruangan tersebut sambil membawa air mineral tersebut. Kalau begitu yang salah siapa? Ya pembuat peraturannya lah, kan tulisannya "dan" coba misalkan tulisannya "atau" kalau perlu "dan/atau" biar kayak undang-undang... (haha)

Pertama-tama, dalam logika ada yang namanya pernyataan atau premis. Nah, pernyataan ini adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran, yaitu benar atau salah tapi tidak keduanya. Misal:

3 lebih besar dari 2 (benar)
Ibu kota Indonesia adalah Padang (salah)

Yang bukan pernyataan adalah kalimat yang belum memiliki nilai kebenaran. Misal:

x lebih besar dari 5 (kan kita belum tahu berapa x-nya)
Siapa yang memakan donat diatas meja? (pasti kamu ya... ayo ngaku...) (hassle)

Kalimat seperti x > 5 disebut juga Kalimat terbuka. Kalimat terbuka akan menjadi tertutup (pernyataan) apabila kita tutup (doh) maksudnya apabila kita mengganti x dengan nilai, misalnya 1 atau 10.

Lalu, dalam logika dikenal juga operator warnet logika. Biasanya ini yang sering digunakan dalam javascript dan coding dalam dunia komputer.

1. Konjungsi (dan)

Syarat agar dua pernyataan yang dihubungkan dengan konjungsi bernilai benar adalah kedua pernyataan bernilai benar.

P	Q	P ^ Q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Misal:
Anda disuruh oleh bos anda: "Bawalah kacang goreng dan jus jeruk ke meja ini!"

Kalau anda membawa:
1. Kacang goreng dan jus jeruk, maka anda telah melakukan pekerjaan dengan benar.
2. Cuma kacang goreng saja atau jus jeruk saja, maka anda tidak menjalankan perintah dengan benar.
3. Tidak bawa apa-apa: Siap-siap saja dipecat (haha)

Dalam dunia komputer, konjungsi biasanya disimbolkan dengan "AND" atau "&&"

2. Disjungsi (atau)

Syarat agar dua pernyataan yang dihubungkan dengan konjungsi bernilai benar adalah salah satu pernyataan bernilai benar.

P	Q	P v Q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Misal:
Ada peraturan: Dilarang membawa makanan atau minuman kedalam bioskop

Kalau anda membawa:
1. keripik kentang, anda diusir oleh penjaga bioskop (kecuali anda bawanya ngumpet-ngumpet (ninja))
2. 1 Galon air mineral, anda akan diusir juga oleh penjaga bioskop (lagian ngapain bawa galon kedalem bioskop?) (doh)
3. Paket hemat ayam goreng beserta minumannya, anda akan diusir, kecuali jika penjaganya dikasih satu (haha)
4. Tidak bawa apa-apa, anda boleh masuk, tapi siap-siap saja kelaparan dan keausan didalam bioskop (lagian kejem banget tuh bioskop ga boleh bawa makanan dan minuman kedalemnya, mending cari bioskop lain deh... eh out of topic deh... (doh))

Dalam dunia komputer simbol yang digunakan adalah "OR" atau "||"

3. Disjungsi/Atau Eksklusif

Sebenarnya disjungsi (atau) dibagi dua, yaitu atau biasa (inklusif yang diajarkan di sekolah-sekolah) dan eksklusif. Atau eskslusif akan bernilai benar jika salah satu dari dua pernyatan benar, tetapi tidak kedua-duanya.

P	Q	P v Q
B	B	S
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Misalnya:
Saya dapat info ayah anda lahir, kalau tidak di Surabaya, di Purbalingga. Lalu saya bertanya: "Ayah anda lahir di Surabaya atau di Purbalingga?"

1. Jika anda jawab bukan di keduanya, berarti info yanag saya dapatkan salah
2. Jika anda jawab salah satu dari keduanya, berarti info yang saya dapat benar.
3. Tidak mungkin ayah anda lahir di dua tempat sekaligus (haha)

Pada kode komputer disimbolkan dengan "XOR"

4. Implikasi (jika ... maka ...)

Ini yang paling sering dipakai dalam dunia komputer, biasanya disimbolkan dengan "IF ... THEN ...". Implikasi bernilai salah hanya ketika pertamanya benar akhirannya salah.

P	Q	P → Q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Contoh:
Saya bergumam: "Jika saya nonton liga Champions ntar malam maka saya ngantuk besok paginya" (:

1. Kalau saya nonton Liga Champions ntar malam maka saya ngantuk besok paginya
2. Saya nonton liga champions tapi nggak ngantuk tuh, berarti sangkaan saya salah.
3. Tapi kalau saya ngantuk itu belum tentu gara-gara nonton liga Champions, bisa jadi karena nonton Liga Europa (apa bedanya) (idiot) atau ngerjain tugas sampai larut malam.
4. Jadi nggak ada jaminan juga kalau nggak nonton liga Champions bakalan nggak ngantuk besok paginya.
5. Tapi kalau saya nggak ngantuk besok paginya, berarti saya nggak nonton liga Champions

5. Biimplikasi (jika dan hanya jika)

Ini sebenarnya adalah pengembangan dari implikasi. Bentuk aslinya adalah "Jika P maka Q, dan jika Q maka P". Syarat agar biimplikasi benar adalah keduanya benar, atau keduanya salah. Nggak tau kalau dipakainya di komputer apaan.

P	Q	P ↔ Q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Contoh:
"Sebuah bilangan bulat adalah bilangan genap jika dan hanya jika habis dibagi 2"

1. Bilangan genap habis dibagi dua.
2. Bilangan ganjil habis dibagi dua? Salah.
3. Bilangan yang tidak habis dibagi dua disebut bilangan genap? Salah juga.
4. Bilangan ganjil tidak habis dibagi dua. Benar.

Kalimat diatas juga dapat dinyatakan sebagai berikut: "Jika sebuah bilangan bulat adalah bilangan genap, maka bilangan tersebut habis dibagi dua. Dan jika sebuah bilangan bulat habis dibagi dua, maka bilangan tersebut adalah bilangan genap".

Sudah, segini dulu pembahasan kita. Tujuan materi kali ini dibuat serial adalah supaya tidak terlalu capek nulisnya. *halah bilang aja biar postingannya jadi banyak* (goodluck) Insya Allah serial ini dilanjut kapan-kapan. (bye)
KLIK DISINI UNTUK BACA SELENGKAPNYA